对称矩阵Bunch-Kaufman分解

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查找了相关资料解释这种分解方法是：
当A是对称或Hermitian矩阵时，PAP’=LDL’＝UDU’，S = bunchkaufman(A)，会求出S.D, S.U, S.p，其中p是一个向量，解释是置换向量。

问题一：如何由p求出P？
问题二：在例子A＝[1 2；2 3]中，直接由求出的UDU’可得到A，是否这个是特例还是内部经过了什么变换？

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线性代数的知识，我忘得差不多了。一个基本的观点是 ，实对称矩阵一定可以相似对角化。
设 A 是一个实对称矩阵，那么存在可逆矩阵 T,对角矩阵 \Lambda 使得 \Lambda=T'AT. 或者 A=R'\Lambda R, 其中 RT=E. 值得注意的是，这里的 R 是一个可逆矩阵，离需要的上三角（下三角矩阵还有点远）。但是，通过对 R 做一些初等行（列）变换 P ，可以将 R 变换成一个上三角矩阵 U.
这里的 向量 p 记录的是 A 的行（列）的排列顺序。

  1. 由 p 求出 P,通过举例说明。一切由单位矩阵 E 出发
julia> E=[1 0 0;0 1 0; 0 0 1]
3×3 Array{Int64,2}:
 1  0  0
 0  1  0
 0  0  1
julia> p=[2,3, 1]
3-element Array{Int64,1}:
 2
 3
 1
julia> P=[0 1 0;0 0 1; 1 0 0]
3×3 Array{Int64,2}:
 0  1  0
 0  0  1
 1  0  0
  1. 由于这里的 p 是 (1,2) 因此单位矩阵重排之后还是单位矩阵

这些知识数值分析这门课里面应该会讲

1 个赞
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:clap:回答的很棒。我看到文档中解释的是行变换的顺序，也看到一个索引公式看不懂。现在我知道是怎么回事了。P可以这样由p得到：P = E [ p, :]，这样等于把E中的行按索引的顺序重新排布

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为什么无法对一个三阶的实对称矩阵进行B-K分解？

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你这个报错是因为矩阵的奇异性，不满秩，但是具体为什么不可逆的矩阵不能这么分解我不知道。
PS:请用 markdown 贴代码与报错，不建议贴截图

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ok，下次贴代码。
LinearAlgebra.factorize那这里面的总结看来有些问题了：

  1. Cholesky分解针对的是正定对称或正定Hermitian矩阵
  2. Bunch-kaufman分解至少对应的是仅仅是浓密对称或Hermitian矩阵了。
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有如下知识点：
（1）正规矩阵可以酉对角化的；