Symbolics 解符号方程

[RexWzh]

吐槽一下 Symbolics.jl 解符号方程的功能，目前还不是很完善。

1. 官方文档的 solve_for 仅支持符号线性方程
   

   

2. 此外处理的矩阵要求为非奇异方阵

   # 源码
   function _solve(A::AbstractMatrix, b::AbstractArray, do_simplify)
       A = Num.(SymbolicUtils.quick_cancel.(A))
       b = Num.(SymbolicUtils.quick_cancel.(b))
       sol = value.(sym_lu(A) \ b) # LU 分解
       do_simplify ? SymbolicUtils.simplify_fractions.(sol) : sol
   end
   

   比如 5 x 3 的符号线性方程，要先选三个求解，再验证其他方程（可能有其他方法？）

   using Symbolics
   @variables x1 x2 y1 y2 y3
   A = [2*x1 1 1 0;
        0 1 x1-x2+1 -1
        x1-x2 1 0 0
        0 x1+x2+1 1 -1
        x1+x2 0 1 0] .// 1 # to Rational
   eqs = [sum(row .* [1//1, y1, y2, y3]) for row in eachrow(A)]
   v1, v2, v3 = simplify.(Symbolics.solve_for(eqs[3:5], [y1, y2, y3]))
   all(iszero, expand.(substitute.(eqs, Ref(Dict(y1 => v1, y2 => v2, y3 => v3)))))
   

   这个例子还遇到了 issue#524 的情况，输入 Rational 数据，输出数据带 Float64
   

   

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补充：刚用这个例子测 Benchmark，速度还行，但功能有待修缮