我用用数值方法得到了权重 W(r) ，因此希望利用正交化关系计算一系列正交多项式：
\int_0^\infty dr W(r) f_k(r) f_{k'}(r)=\delta_{kk'},\{k=0,1,...,\infty \}
我采取的方法是Gram-Schmidt(CGS)正交化操作。
这个方法在 k 比较小时比较好用。但是CGS随着 k 的增加，误差会累计，因此到了后面正交归一的效果比较差。
Q1：如何精确构造正交多项式还能满足上面数值权重呢？
我也试过Modified Gram-Schmidt(MGS)操作。不知道(MGS)是只适用于矢量还是咋的，不太行。
我照着人家julia MGS代码改的，出错的可能性不大。
最后我尝试将他们的系数用矩阵一股脑求出来，避免CGS操作的误差累计。现在在这么一个方程上卡住：
X^T A X = I
这里$X$是一个上三角矩阵，有逆。 A 是一个方阵。
目前MatrixEquations.jl andreasvarga/MatrixEquations.jl: Solution of Lyapunov, Sylvester and Riccati matrix equations using Julia (github.com)提供了一系列经典矩阵的solver，我看了下，顶多系数带转置，还没有未知矩阵 X 转置的。
现在这个转置我是没法消掉。请问
Q2: 这种待求矩阵转置该如何转化成经典的矩阵方程呢？
Q3: 没有办法的话，上面的方程本身有办法解吗？